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2016年1月4日 星期一

數學教你不犯錯,上》養、套、殺的把式

股票經紀人的絕佳預測

這是一則寓言。有一天你收到來自巴爾的摩一位股票經紀人的廣告信,裡面說某支股票將會大漲。一週過去之後,正如巴爾的摩股票經紀人預測的那樣,那支股票真的起來了。下一週,你收到一封新的廣告信,裡面說某支股票將會下跌,結果真的敗下來。經過十週,每週都寄來預測股價的廣告信,而且每次都預測成真。

到了第十一週,你收到一封信請你把金錢交由這位巴爾的摩股票經紀人來投資,當然因為前十週廣告信的精準預測,使得他需要收取的佣金也相當高。

聽起來像似滿好的交易,對不對?巴爾的摩股票經紀人一定是有點本事,如果他不是掌握了股票市場特殊訊息,怎麼可能連續正確預測有起有伏的股價呢?事實上,你可以精準算出他的成功率。假設他每次猜對的機會是50%,那麼他頭兩次都對的機會是一半的一半,也就是四分之一。頭三次都對的機會則是那四分之一的一半,也就是八分之一。如此類推,連續十次都猜中的機會是

1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/1024

換句話說,全靠矇對的機會幾近於零。

然而,如果從股票經紀人的角度來看事情,局面就大為改觀。你前面可能沒這麼想過,假如第一週你並不是唯一接到廣告信的人,而是有10,240人收到他的信。不過信件內容並不完全一樣,其中一半像你收到的信那樣,預測股票會漲,另外一半則做反向的預測。那5,120位接到錯誤預測信的人,自此再也不會接到廣告信了。你跟另外那5,119位接到同樣訊息的人,下一週都會接到新的預測。在你們這5,120人收到的第二封信裡,有一半預測會漲,有一半說會跌。這週之後,仍有2,560人連續接獲兩次正確的預測。

如此類推。

十個星期後,無論股市如何變化,都將會剩下十位幸運兒(?):巴爾的摩股票經紀人提供給他們的訊息,連續正確了十次。股票經紀人也許觀察股市起伏敏銳如鷹眼,也許只是把雞內臟甩在牆上,根據汙跡做預測。無論他是哪種人,總有十位接到廣告信的人,會覺得他料事如神。他估計能從那十個人裡面回收大量佣金。但是對那十個人而言,過去的成績絕對無法保證未來的成果。

養、套、殺的把式

我常聽人家講,巴爾的摩股票經紀人的故事是真的,但我還無法找到它確實發生過的證據。我能找到最接近它的事證,是2008年的一個實境秀。實境秀現在成為我們當代尋找寓言的場所了。當時英國魔術師布朗(Derren Brown)耍了一次類似的把戲,他寄出各種馬票賭法給數千位英國人,最終有一位相信布朗確實發明了百發百中的預測系統。(布朗喜歡揭穿、而不是宣揚那些號稱神祕的事蹟,他在節目結束時公開了戲法的道理,對英國教育所做的貢獻,可能遠大於BBC成打正經的特別節目。)

假如你把這場遊戲略加改變,讓它看起來更不像騙局,但是保持誤導的潛力,你會發現巴爾的摩股票經紀人依然存活在財務金融業。當一家公司發售共同基金時,他們經常會先在內部持有一段時間,才向大眾公開,這種做法稱為孵化(incubation)。

孵化中基金的生命並不像如孵化般溫暖安全。公司通常會同時孵化一大堆基金,並且試驗各種投資策略與分配,各個基金在子宮裡推擠競爭,有些回報豐厚,很快就向大眾公開,並且附上它們到目前為止獲利的證明文件。但是發育不健全的那些傢伙就會受到安樂死,大眾甚至不會知道它們曾經存在。

那些能從孵化過程中走出的共同基金,也許可能真的是精明投資的結果。銷售共同基金的公司可能也這麼認為。賭博手氣好的時候,誰不認為是自己的聰明與技術造成的呢?但是數據卻顯示出相異的結果:孵化出來的基金一旦到了公眾手裡,就不再保持問世前的表現,而會跟中等基金的獲利狀況差不多。

假如你有幸擁有足夠金錢來做投資,這種狀況對你來說有什麼意義呢?它的意義是說,你要忍得住誘惑,不受那些過去十二個月獲利都在10%的熱門新基金吸引。最好還是遵循你聽膩的老生常談,「多吃蔬菜、多走樓梯」式的財務健康方案:放棄追尋魔力系統或有金手指的導師,應該把錢放入大而無趣卻收費低廉的指數基金,然後把它拋到腦後。當你把儲蓄都投入那些讓人眼睛發亮的新孵化基金時,你正像把一生積蓄都投資給巴爾的摩股票經紀人的收信人。你受那些令人印象深刻的結果左右,卻不知道經紀人要達到那些結果的機會是多少。


這很像我八歲的兒子玩拼字遊戲的情況,他不喜歡從袋子裡抽出的那些字母時,就把它們丟回去重抽,一直重複這麼做,直到拿到喜歡的字母才停止。從他的立場看來,因為他一直閉起眼睛,無從知道抽到什麼字母,所以過程是公平的。但是如果你給自己足夠的機會,最終總會等到心裡想要的那個字母Z。這並不是因為你幸運,而是因為你作弊。

巴爾的摩股票經紀人之所以會成功,就像其他好的魔術一樣,不會從一開始就耍弄你。也就是說他不想嘗試告訴你錯誤的事,而是告訴你一些正確的事,不過很容易引導你推出錯誤的結論。預測股價連續十次都命中,或賭馬連續六次賭勝,或共同基金可獲利10%,確實都是些不太可能發生的事。因為遇上這些不太可能發生的事,所以會產生誤判。宇宙很巨大,但只要你想注意奇妙而不太可能發生的事情,你就會發現它們。不太可能發生的事,其實發生得不少。

巧合比你想的多

遭閃電擊中或中樂透,都是不太可能發生的事,但不斷會有人碰到這些事,這是因為世界上的人實在太多了,又有太多人去買樂透,或在打雷時還跑到高爾夫球場,或兩者都幹。從恰當的距離觀察,會發現大多數的巧合都沒什麼神奇。

200779日北卡州的5碼樂透開出4, 21, 23, 34, 39,兩天後,同樣五個號碼又再次開出。這看起來像是不可能發生的事,機會也真的極端的低。兩次樂透純粹靠機運開出同樣號碼的機會,在一百萬次裡小於兩次。但是在判定結果有多驚人時,這卻不是相干的問題。事實上,5碼樂透已經玩了將近一年,是有機會產生許多巧合。三天之內有兩次5碼雷同的機會,機率約一千分之一,其實沒有那麼神奇。此外5碼也不是市面上唯一的樂透,全美國有上百種用五個數字決定的樂透遊戲,也銷售了許多年頭,當你把它們都放到一起,就知道三天裡有兩次同號的巧合,沒那麼令人驚奇。如此說並不意味,個別的巧合機會不太會發生,讓我們重複前面說過的那句話:不太可能發生的事,其實發生得不少。